老员工被公司无故开除时，如何向公司索要赔偿？

问题补充：私企，干了5年，一直签的派遣公司，前一阵子公司组织给所有人换了派遣公司，同时公司又成立了一个所谓新的公司（工商局有备案，但是并没有真的运营），把我们派遣到了新公司，但是办公地点，人员都没有变动，做的项目也没变。也就是法律意义上，我在所谓“新的”公司干了没有半年，现在公司要开除我们，只赔偿半个月工资，请问合理么？如何取得最大的赔偿。劳动仲裁的话，有胜算么？以及之前一个被开除的高管，只干了不到半年，但是人比较厉害，就赔偿了她不少钱。所以也想知道，不经过法律，如何才能获得赔偿。